メネラウスの定理を証明します。あと、定理の覚え方もわかっちゃいます！

メネラウスの定理とはいったいどのような定理かと言いますと、次のように三角形ABCの辺BCをのばして点Fをとり、そこから三角形ABCへ直線を引いてACとの交点をE、ABとの交点をDとするとき、次の等式が成り立つという定理です。

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${\displaystyle\frac{DA}{BD}}$ ・ ${\displaystyle\frac{EC}{AE}}$ ・ ${\displaystyle\frac{FB}{CF}}=1$

では証明を見ていきましょう。

点Pを、ABとPCが平行になるようにEF上にとります。

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すると ∠ADE = ∠CPE 、∠DAE = ∠PCE　なので△ ADE は △ CPE と相似になります。

よって ${\displaystyle\frac{EC}{AE}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{CP}{DA}}$ ‥‥(1)

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一方で ∠FPC = ∠FDB 、∠FCP = ∠FBD なので△ FPC は △ FDBと相似になります。

よって ${\displaystyle\frac{BF}{CF}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{BD}{CP}}$ ‥‥(2)

(1) と (2)より

${\displaystyle\frac{DA}{BD}}$ ・ ${\displaystyle\frac{EC}{AE}}$ ・ ${\displaystyle\frac{FB}{CF}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{DA}{BD}}$ ・ ${\displaystyle\frac{CP}{DA}}$ ・ ${\displaystyle\frac{BD}{CP}}$ ＝1

以上によりメネラウスの定理が証明されました。

ところで、メネラウスの定理はどうやって覚えればよいのでしょうか。

それは、次のような矢印の順番で覚えることができます。

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まず最初の分母がBD、分子がDAですが、BからD、DからAへというイメージです。

また2番目の分母がAE、分子がECですが、AからE、EからCへというイメージです。

そして3番目の分母がCF、分子がFBですが、CからF、FからBへというイメージです。

このように矢印の順番につながっていく様子をイメージしていただければ覚えやすいかと思います。

また、次の図のようなタイプもあります。

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${\displaystyle\frac{PA}{BP}}$ ・ ${\displaystyle\frac{QC}{AQ}}$ ・ ${\displaystyle\frac{RB}{CR}}=1$

こちらの図形でもメネラウスの定理が成り立つわけですが、同じように矢印の順番に見ていくイメージです。

続いて以下のyoutube動画に進みましょう。

https://www.youtube.com/watch?v=MMi3KJyyP9g

メネラウスの定理は魅力的ですね

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