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三角関数の2倍角の公式、3倍角の公式の証明

数学

今回は2倍角の公式、3倍角の公式についてです。

まず、2倍角の公式は次のようになります。

$sin2X=2sinXcosX$

$cos2X=2cos^{2}X-1=1-2sin^{2}X$

$\displaystyle\ tan2X=\frac{2tanX}{1-tan^{2}X}$

そして、3倍角の公式は以下の式です。

$sin3X=3sinX-4sin^{3}X$

$cos3X=4cos^{3}X-3cosX$

では2倍角の公式から証明していきたいと思います。

まず、sinの加法定理の式

$sin(P+Q)=sinPcosQ+cosPsinQ$

において $P=Q=X$ 　として

$sin2X=sinXcosX+cosXsinX$

$=2sinXcosX$

また、cosの加法定理の式

$cos(P+Q)=cosPcosQ-sinPsinQ$

において $P=Q=X$ 　として

$cos2X=cosXcosX-sinXsinX$

$=cos^{2}X-sin^{2}X$

$=cos^{2}X-(1-cos^{2}X)$

$=2cos^{2}X-1$

$=2(1-sin^{2}X)-1$

$=1-2sin^{2}X$

そして、tanの加法定理の式

$\displaystyle\ tan(P+Q)=\frac{tanP+tanQ}{1-tanPtanQ}$

において $P=Q=X$ 　として

$\displaystyle\ tan2X=\frac{2tanX}{1-tan^{2}X}$

続いて3倍角の公式を示したいと思います。

sinの加法定理の式

$sin(P+Q)=sinPcosQ+cosPsinQ$

において $P=2X,Q=X$ 　として

$sin3X=sin2XcosX+cos2XsinX$

$=2sinXcos^{2}X+(1-2sin^{2}X)sinX$

$=2sinX(1-sin^{2}X)+sinX-2sin^{3}X$

$=2sinX-2sin^{3}X+sinX-2sin^{3}X$

$=3sinX-4sin^{3}X$

また、cosの加法定理の式

$cos(P+Q)=cosPcosQ-sinPsinQ$

において $P=2X,Q=X$ 　として

$cos3X=cos2XcosX-sin2XsinX$

$=(2cos^{2}X-1)cosX-2sin^{2}XcosX$

$=2cos^{3}X-cosX-2(1-cos^{2}X)cosX$

$=2cos^{3}X-cosX-2cosX+2cos^{3}X$

$=4cos^{3}X-3cosX$

以上により2倍角、3倍角の公式が証明されました。

三角関数の2倍角、3倍角の公式はsinやcosの出てくる方程式や不等式の問題を解くときに使うことが多いですが、積分を用いて面積や体積を求める問題を解くときにも式変形などで非常に役に立ちます。

特に2倍角のほうはよく使うのでぜひとも覚えておきたいのですが、忘れてしまったときでもどのように導くかがわかっていれば公式を作れますね。

2倍角の公式、3倍角の公式はどちらも証明するためには加法定理を使ったのでした。

さて、もっと数学の力をつけたい方は次の動画を見てみましょう。

いい問題です。

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