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関関同立クラスを目指す人向けの点対称な三次関数の数学の問題

数学

今回は点対称な三次関数についてです。難易度としましては関関同立クラスであればぜひとも解き切りたい問題です。

$p,q,a,b$ を実数、 $a\neq0$ として

$f(x)=x^{3}+px^{2}+qx$ が $(a,b)$ に関して点対称となるとき $p,q$ を $a,b$ を用いて表したいと思います

任意の実数 $t$ に対して2つの点

$(a+t,f(a+t))$ と $(a-t,f(a-t))$

の中点が $(a,b)$ となるので

$\displaystyle\frac{f(a+t)+f(a-t)}{2}=b$

$f(a+t)+f(a-t)=2b$

$(a+t)^{3}+p(a+t)^{2}+q(a+t)$

$+(a-t)^{3}+p(a-t)^{2}+q(a-t)=2b$

$a^{3}+3a^{2}t+3at^{2}+t^{3}+pa^{2}+2pat+pt^{2}$

$+qa+qt+a^{3}-3a^{2}t+3at^{2}-t^{3}+pa^{2}$

$-2pat+pt^{2}+qa-qt=2b$

$2(a^{3}+3at^{2}+pa^{2}+pt^{2}+qa)=2b$

$a^{3}+3at^{2}+pa^{2}+pt^{2}+qa=b$

$(3a+p)t^{2}+a^{3}+pa^{2}+qa=b$

この式が任意の $t$ に対して成り立つので

$3a+p=0, a^{3}+pa^{2}+qa=b$

$p=-3a$ でこれを後ろの式に代入して

$a^{3}-3a^{3}+qa=b$

$qa=2a^{3}+b$

$\displaystyle\ q=\frac{2a^{3}+b}{a}$

となって求まりました。

また、次のような解き方もあります。

まず、 $b=f(a)$ なので $b=a^{3}+pa^{2}+qa$

そして、 $f'(x)=3x^{2}+2px+q$

$f''(x)=6x+2p$ であるが今、 $f''(a)=0$ なので

$f''(a)=6a+2p=0$ よって $p=-3a$

$b=a^{3}-3a^{3}+qa$

$qa=2a^{3}+b$

$\displaystyle\ q=\frac{2a^{3}+b}{a}$ となるが、このとき任意の実数 $t$ に対して

$f(a+t)+f(a-t)$ が一定かどうかを確かめる。

$f(a+t)+f(a-t)$

$=2((3a+p)t^{2}+a^{3}+pa^{2}+qa)$

（先ほどの解答の計算結果を使いました）

$=2(a^{3}-3a^{3}+qa)=2b$ で一定となることから点対称になっていると言える。よって

$\displaystyle\ p=-3a,q=\frac{2a^{3}+b}{a}$