チェバの定理の証明します、2通りで！

三角形ABCがあり、BC上に点Pを、CA上に点Qを、AB上に点Rを、それぞれとり、AP,BQ,CRが1点Sで交わるとします。

このとき、次の等式が成り立ち、これをチェバの定理といいます。

f:id:ecole2:20181112085251j:plain

${\displaystyle\frac{RA}{BR}}$ ・ ${\displaystyle\frac{QC}{AQ}}$ ・ ${\displaystyle\frac{PB}{CP}}=1$

ではこのチェバの定理を証明していきましょう。

f:id:ecole2:20181112085251j:plain

△ ABP: △ ACP = BP: CPなので

mを実数として △ ABP = mBP, △ ACP = mCP

と表せます。一方で

△ SBP: △ SCP ＝ BP: CPなので

nを実数として△ SBP = nBP, △ SCP = nCP

と表せます。よって

△ASB＝△ABP－△SBP＝mBP－nBP＝(m－n)BP

△ASC＝△ACP－△SCP＝mCP－nCP＝(m－n)CP

それゆえ、△ASB：△ASC =(m－n)BP：(m－n)CP =BP：CP

${\displaystyle\frac{PB}{CP}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{△ASB}{△ASC}}$

同様にして

${\displaystyle\frac{QC}{AQ}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{△BSC}{△BSA}}$ 、 ${\displaystyle\frac{RA}{BR}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{△CSA}{△CSB}}$

となるので

${\displaystyle\frac{RA}{BR}}$ ・ ${\displaystyle\frac{QC}{AQ}}$ ・ ${\displaystyle\frac{PB}{CP}}$

＝ ${\displaystyle\frac{△CSA}{△CSB}}$ ・ ${\displaystyle\frac{△CSB}{△ASB}}$ ・ ${\displaystyle\frac{△ASB}{△CSA}}=1$

以上によりチェバの定理が証明されました。

今の証明は三角形の面積比を使ったものでしたが、これとは別にメネラウスの定理を使って証明することもできます。

メネラウスの定理って何？という方はぜひともこちらのページをご覧ください。

それでは、続いての証明を見てみましょう。まず、メネラウスの定理により次の等式が成り立ちます。

f:id:ecole2:20181112085251j:plain

${\displaystyle\frac{RA}{BR}}$ ・ ${\displaystyle\frac{SP}{AS}}$ ・ ${\displaystyle\frac{CB}{PC}}=1$ ‥‥(1)

同様にしてメネラウスの定理より

${\displaystyle\frac{QA}{CQ}}$ ・ ${\displaystyle\frac{SP}{AS}}$ ・ ${\displaystyle\frac{BC}{PB}}=1$ ‥‥(2)

(2) を変形すると

${\displaystyle\frac{SP}{AS}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{CQ}{QA}}$ ・ ${\displaystyle\frac{PB}{BC}}$ ‥‥(3)

(3)を(1)に代入するとチェバの定理の形になるので証明されました。

それではこの動画でさらなる数学力をつけましょう。

学びをつづる