共通テスト8割を目指すなら落とせない！三角関数の問題

※動画が表示されにくい場合は数秒お待ちください

三角関数の問題です。

共通テストの数学で8割以上取りたい場合はすぐ下の動画の問題、そしてさらに下の続きの問題も正解したいところです。

上の動画の続きとして

$sin^{3}\theta+cos^{3}\theta$ の値を求めたいと思います。

$(sin\theta+cos\theta)^{3}$

$=sin^{3}\theta+3sin^{2}\theta\cos\theta$

$+3sin\theta\cos^{2}\theta+cos^{3}\theta$

$=sin^{3}\theta+cos^{3}\theta$

$+3sin\theta\cos\theta(sin\theta+cos\theta)$

よって、 $sin^{3}\theta+cos^{3}\theta$

$=(sin\theta+cos\theta)^{3}$

$-3sin\theta\cos\theta(sin\theta+cos\theta)$

$\displaystyle\ =(\frac{1}{4})^{3}-3(-\frac{15}{32})\frac{1}{4}$

$\displaystyle\ =(\frac{1}{4})^{3}+\frac{45}{2}(\frac{1}{4})^{3}$

$\displaystyle\ =(\frac{1}{4})^{3}(1+\frac{45}{2})$

$\displaystyle\ =(\frac{1}{4})^{3}\frac{47}{2}$

$\displaystyle\ =\frac{1}{64}\frac{47}{2}=\frac{47}{128}$

となって答えが求まりました。

三角関数の問題では今回のように $sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1$ という関係を使うとうまくいく場合が結構あります。これは三角関数ならではの面白さと言えるのではないでしょうか。

また、 $sin^{3}\theta+cos^{3}\theta$ を求めたいときには $(sin\theta+cos\theta)^{3}$ を考えると解きやすくなるというのも割とよくあることだと思います。

今回の問題を解く際に使った考え方は三角関数とその他の分野の混ざり合った発展問題などもっと難しい問題を解くときの途中計算としても応用可能な方法なのですごく便利だと言えるでしょう。

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