束の考え方についてご説明します。 f(x,y)=0,g(x,y)=0が異なる2点(a,b),(c,d)で交わるときkを実数としてkf(x,y)+g(x,y)=0という式を考えます。 この式が表すグラフがどういったものなのかさっぱりわからないですし、kの値によって様々に変化するのでまさに得…

今回は三角関数の方程式について学んでいきたいと思います。 何はともあれ実際に問題を見てみましょう。 第一問目としてまずは次のyoutube動画をご覧ください。 ※動画が表示されにくい場合は数秒お待ちください どうでしたでしょうか。三角関数の方程式を実…

共通テストの数学って基本から標準レベルの計算も大事じゃないですか。 そういう計算力をつけるのにぴったりな問題を用意しました。 どんな問題か気になってきませんか。 そんな知りたがりの皆さんにまず最初の問題をご紹介します。 次の動画をご覧ください…

数と式の計算や相加相乗平均の不等式というのは高校数学の最初の方で学びます。 しかしこれらは学べば学ぶほど奥深いものなのです。 今回の問題はそんな、相加相乗平均の不等式を使って解く問題ですが早稲田や慶応、旧帝大クラスであれば解き切りたいところ…

今回は点対称な三次関数についてです。難易度としましては関関同立クラスであればぜひとも解き切りたい問題です。 を実数、として がに関して点対称となるとき を を用いて表したいと思います 任意の実数に対して2つの点 と の中点がとなるので この式が任意…

※動画が表示されにくい場合は数秒お待ちください 三角関数の問題です。 共通テストの数学で8割以上取りたい場合はすぐ下の動画の問題、そしてさらに下の続きの問題も正解したいところです。 上の動画の続きとして の値を求めたいと思います。 よって、 とな…

今回は数列の問題をご紹介したいと思います。 数列というと等差数列や等比数列の基本的なパターン問題についてはどの参考書や問題集にも載っていることもあっておなじみかもしれません。 ただそうした基本のパターンにちょっとひと工夫加えた問題を見るとど…

cosXを微分すると-sinXになるのはどうしてでしょうか。 気になりますよね。 はやる気持ちを抑えつつ一緒に見ていきましょう。 まずは和積公式を使った証明です。 cosXの微分 を求めるために次の和積公式を使います この公式で とすると なので ここで なので…

微積分でsinXの微分がcosXになるのはどうしてでしょうか。 さっそくその秘密を見ていきましょう。 sinの微分 を求めるために次の和積公式を使います この公式で とすると なので ここで なので (なぜなら だから) となります よってを微分するとになることが…

今回は2倍角の公式、3倍角の公式についてです。 まず、2倍角の公式は次のようになります。 そして、3倍角の公式は以下の式です。 では2倍角の公式から証明していきたいと思います。 まず、sinの加法定理の式 において として また、cosの加法定理の式 におい…

まず積和公式とは何かと言いますと、以下のような式になります。 これらを証明するために加法定理を使います。 加法定理は以下の（1）から（4）の式ですが (1) (2) (3) (4) ここで、（1）と（2）を足して (5) また、（3）と（4）を足して (6) 今度は、（3）…

今回は分数の漸化式の問題です。 複雑に見えますが落ち着いて見ていくことが大切です。 特に旧帝大や金岡千広クラスの大学を受験するなら解いておいて損ではない問題です。 [問題] nを自然数として次のような条件で数列が与えられたとする。 このとき (1)す…

三角関数の代表的な定理のひとつである余弦定理ですが、今回は正弦定理と加法定理を使って余弦定理の式を求めてみたいと思います。 余弦定理の式は ですが、これを変形した を求めたいと思います。まず正弦定理より （Rは三角形ABCの外接円の半径） ここで 2…

三角形があってその中の1つの角を二等分する線が引かれているとき角の二等分線定理が役立つことが大いにあります。そんな角の二等分線定理とはいったいどのような定理かと言いますと、 三角形ABCがあって∠BAD＝∠CADとなるようにBC上に点Dをとるとき、 AB:AC …

※数式が表示されにくい場合は数秒お待ちください 三角形があり、そのなかの一辺で中点をとったときに使えるのが中線定理（パップスの定理）です。ではその中線定理とはいったい何でしょうか。 三角形ABCがありMをBCの中点とします。このとき次の等式が成り立…

三角形ABCがあり、BC上に点Pを、CA上に点Qを、AB上に点Rを、それぞれとり、AP,BQ,CRが1点Sで交わるとします。 このとき、次の等式が成り立ち、これをチェバの定理といいます。 ・・ ではこのチェバの定理を証明していきましょう。 △ ABP: △ ACP = BP: CPなの…

メネラウスの定理とはいったいどのような定理かと言いますと、次のように三角形ABCの辺BCをのばして点Fをとり、そこから三角形ABCへ直線を引いてACとの交点をE、ABとの交点をDとするとき、次の等式が成り立つという定理です。 ・・ では証明を見ていきましょ…

正弦定理は高校の数学で学習する基本的で重要な定理です ただ正弦定理を使って解く問題というのは山ほどあって大学入試においても基本的な大学から難関大学まで幅広い大学で出題されています。 入試でも人気の定理なのですね。 そんな正弦定理について見てい…