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旧帝大や金岡千広を受ける人向けの分数の漸化式の数列問題

数学

今回は分数の漸化式の問題です。

複雑に見えますが落ち着いて見ていくことが大切です。

特に旧帝大や金岡千広クラスの大学を受験するなら解いておいて損ではない問題です。

[問題] nを自然数として次のような条件で数列が与えられたとする。

$\displaystyle\ a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{2a_n+6}$ 　 $,$ 　 $a_1=3$

このとき

(1)すべての自然数nに対して $a_n\neq-2$ であることを示せ

(2) $\displaystyle\ b_n=\frac {2a_n-1} {2a_n + 4}$ とするとき { $b_n$ }の漸化式を求めよ

(3) 数列 { $a_n$ }の一般項を求めよ

[解答]

（1）あるnで $a_n=-2$ になったとすると

$\displaystyle\ a_n=\frac{3a_{n-1}+2}{2a_{n-1}+6}$ なので

$\displaystyle\ -2=\frac{3a_{n-1}+2}{2a_{n-1}+6}$

$-4a_{n-1}-12=3a_{n-1}+2$

$7a_{n-1}=-14$ 　、 $a_{n-1}=-2$

となってこれを繰り返すことで

$a_{n-1}=-2$ 、‥‥、 $a_1=-2$

となり $a_1=3$ に矛盾する。

よって、すべての自然数nに対して $a_n\neq-2$ である

（2） $\displaystyle\ b_{n+1}=\frac{2a_{n+1}-1}{2a_{n+1}+4}$

$\displaystyle\ =\frac{2\frac{3a_n+2}{2a_n+6}-1}{2\frac{3a_n+2}{2a_n+6}+4}$

$\displaystyle\ =\frac{2(3a_n+2)-(2a_n+6)}{2(3a_n+2)+4(2a_n+6)}$

$\displaystyle\ =\frac{6a_n+4-2a_n-6}{6a_n+4+8a_n+24}$

$\displaystyle\ =\frac{4a_n-2}{14a_n+28}$

$\displaystyle\ =\frac{2(2a_n-1)}{7(2a_n+4)}$

よって $\displaystyle\ b_{n+1}=\frac{2}{7}b_n$

（3） $\displaystyle\ b_1=\frac{2a_1-1}{2a_1+4}$

$\displaystyle\ =\frac{2\cdot{3}-1}{2\cdot{3}+4}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

なので $\displaystyle\ b_n=\frac{1}{2}\cdot{(\frac{2}{7})^{n-1}}$

$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{(\frac{2}{7})^{n-1}}=\frac{2a_{n+1}-1}{2a_{n+1}+4}$

$\displaystyle\ (\frac{2}{7})^{n-1}=\frac{2a_{n+1}-1}{a_{n+1}+2}$

$\displaystyle\ (a_n+2)(\frac{2}{7})^{n-1}=2a_n-1$

$\displaystyle\ (2-(\frac{2}{7})^{n-1})a_n=1+2\cdot{(\frac{2}{7})^{n-1}}$

$\displaystyle\frac{2\cdot{7^{n-1}}-2^{n-1}}{7^{n-1}}a_n=\frac{7^{n-1}+2^{n}}{7^{n-1}}$

$\displaystyle\ a_n=\frac{7^{n-1}+2^{n}}{2\cdot{7^{n-1}}-2^{n-1}}$

$a_{n}$ とは別に $b_{n}$ についての漸化式を作ることで問題を解いたのですね。