学びをつづる

数学の記事を書いています

cosXの微分が―sinXになる理由、気になりませんか？

数学

cosXを微分すると-sinXになるのはどうしてでしょうか。

気になりますよね。

はやる気持ちを抑えつつ一緒に見ていきましょう。

まずは和積公式を使った証明です。

cosXの微分

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{cos(x+h)-cos\,x}{h}$

を求めるために次の和積公式を使います

$\displaystyle\ cosA-cosB=-2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}$

この公式で $A=x+h,B=x$ とすると

$\displaystyle\frac{A+B}{2}=\frac{2x+h}{2}=x+\frac{h}{2}$

$\displaystyle\frac{A-B}{2}=\frac{h}{2}$ なので

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{cos(x+h)-cos\,x}{h}$

$\displaystyle\ =\lim_{h \to 0}\frac{-2sin(x+\frac{h}{2})sin\frac{h}{2}}{h}$

$\displaystyle\ =\lim_{h \to 0}-sin(x+\frac{h}{2})\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$

ここで

$\displaystyle\lim_{h \to 0}sin(x+\frac{h}{2})=sin\,x$

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1$ なので

(なぜなら $\displaystyle\lim_{t \to 0}\frac{sin\,t}{t}=1$ だから)

$\displaystyle\lim_{h \to 0}-sin(x+\frac{h}{2})\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$

$=-sin\,x\cdot1$

$=-sin\,x$ となります

よって $cos\,x$ を微分すると $-sin\,x$ になることが証明できました

今一度振り返ってみると和積公式にうまく当てはめ極限の公式も使いながら証明していましたね。

ただ、みなさんの中には和積公式なんてすっかり忘れちゃったしどうやって導けばいいのかわからないよという方もいるのではないでしょうか。

そんな方はぜひともこちらのページをご覧ください。

ecole2.hatenablog.com

和積公式、それから積和公式の導き方までわかっちゃいます。

和積公式や積和公式というのはついつい忘れがちになってしまいそうですがたまに使うことがあるので、もしかしたらこの問題で使うかもという気持ちを持っておきたいところですね。

それではお待たせしました、いよいよ2つ目の証明に参りましょう。

今度は加法定理を使った証明になります。

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{cos(x+h)-cos\,x}{h}$ で

$cos(x+h)$ は加法定理により

$=cos\,x\,cos\,h-sin\,x\,sin\,h$ なので

$\displaystyle\frac{cos(x+h)-cos\,x}{h}$

$\displaystyle =\frac{cos\,x\,cos\,h-sin\,x\,sin\,h-cos\,x}{h}$

$\displaystyle =\frac{cos\,x(cos\,h-1)-sin\,x\,sin\,h}{h}$

よって

$\displaystyle\frac{d}{dx}cos\,x$

$\displaystyle =\lim_{h \to 0}(\frac{cos\,x(cos\,h-1)}{h}-\frac{sin\,x\,sin\,h}{h})$

となるわけですが、ここで

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(cos\,h-1)}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h \to 0}\frac{-(1-cos\,h)}{h^{2}}\cdot{h}$ について

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-(1-cos\,h)}{h^{2}}=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle\lim_{h \to 0}h=0$ であり

一方で $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{sin\,h}{h}=1$ なので

$\displaystyle\lim_{h \to 0}(\frac{cos\,x(cos\,h-1)}{h}-\frac{sin\,x\,sin\,h}{h})$

$\displaystyle =cos\,x\cdot{\frac{-1}{2}}\cdot0-sin\,x\cdot1$

$\displaystyle =-sin\,x$

となって証明できました

今の証明を振り返ってみると微分の式に加法定理をうまいこと当てはめてそのあと極限の公式を使うという流れでしたね。

極限の公式を使うところは難しく感じた方もいるかもしれません。

ぜひとも落ち着いて理解していきましょう。

さて、三角関数というのは学べば学ぶほどいろいろと役に立つものです。

もっと学びたい方にはこちらのページがおすすめです。

ecole2.hatenablog.com

基本的でありながら重要な内容となっていますのでぜひご覧ください。それでは今回はこの辺で。