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sinXの微分はなぜcosXになるのか？

数学

微積分でsinXの微分がcosXになるのはどうしてでしょうか。

さっそくその秘密を見ていきましょう。

sinの微分

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{sin(x+h)-sin\,x}{h}$

を求めるために次の和積公式を使います

$\displaystyle\ sinA-sinB=2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}$

この公式で $A=x+h,B=x$ とすると

$\displaystyle\frac{A+B}{2}=\frac{2x+h}{2}=x+\frac{h}{2}$

$\displaystyle\frac{A-B}{2}=\frac{h}{2}$ なので

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{sin(x+h)-sin\,x}{h}$

$\displaystyle\ =\lim_{h \to 0}\frac{2cos(x+\frac{h}{2})sin\frac{h}{2}}{h}$

$\displaystyle\ =\lim_{h \to 0}cos(x+\frac{h}{2})\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$

ここで

$\displaystyle\lim_{h \to 0}cos(x+\frac{h}{2})=cos\,x$

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1$ なので

(なぜなら $\displaystyle\lim_{t \to 0}\frac{sin\,t}{t}=1$ だから)

$\displaystyle\lim_{h \to 0}cos(x+\frac{h}{2})\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$

$=cos\,x\cdot1$

$=cos\,x$ となります

よって $sin\,x$ を微分すると $cos\,x$ になることが証明できました

こんなふうに和積公式をうまく使うことで証明していましたね。

続いて2つめの証明方法なのですが今度は加法定理を使います。

それでは見ていきましょう。

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{sin(x+h)-sin\,x}{h}$ で

$sin(x+h)$ は加法定理により

$sin\,x\,cos\,h+cos\,x\,sin\,h$ なので

$\displaystyle\frac{sin(x+h)-sin\,x}{h}$

$\displaystyle =\frac{sin\,x\,cos\,h+cos\,x\,sin\,h-sin\,x}{h}$

$\displaystyle =\frac{sin\,x(cos\,h-1)+cos\,x\,sin\,h}{h}$

よって

$\displaystyle\frac{d}{dx}sin\,x$

$\displaystyle =\lim_{h \to 0}(\frac{sin\,x(cos\,h-1)}{h}+\frac{cos\,x\,sin\,h}{h})$

となるわけですが、ここで

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(cos\,h-1)}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h \to 0}\frac{-(1-cos\,h)}{h^{2}}\cdot{h}$ について

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-(1-cos\,h)}{h^{2}}=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle\lim_{h \to 0}h=0$ であり

一方で $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{sin\,h}{h}=1$ なので

$\displaystyle\lim_{h \to 0}(\frac{sin\,x(cos\,h-1)}{h}+\frac{cos\,x\,sin\,h}{h})$

$\displaystyle =sin\,x\cdot{\frac{-1}{2}}\cdot0+cos\,x\cdot1$

$\displaystyle =cos\,x$

となって証明できました

以上のように2通りの方法でsinXの微分がcosXになる理由を証明できたわけなのですがどうだったでしょうか。

ここまで読んできた方はもっと三角関数について知りたくなったのではないでしょうか。

そんな方はぜひこちらのページをご覧ください

ecole2.hatenablog.com

三角関数の方程式についてのページなのですが今回学んだ微分の内容と合わせて学習すれば三角関数についての理解がより一層深まること間違いなしです。

そして様々な式変形について上達することで三角関数の出てくる問題をどんどん解けるようになっていっていただければ幸いです。