2018-12-03

中線定理の証明（パップスの定理の証明）

数学

※数式が表示されにくい場合は数秒お待ちください

三角形があり、そのなかの一辺で中点をとったときに使えるのが中線定理（パップスの定理）です。ではその中線定理とはいったい何でしょうか。

f:id:ecole2:20181113081022j:plain

三角形ABCがありMをBCの中点とします。このとき次の等式が成り立ち、これを中線定理といいます。

$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

ではこの中線定理の証明を見ていきましょう。

まずは角B,Cが鋭角の場合です。

AHとBCが垂直になるようにBC上に点Hをとると

f:id:ecole2:20181113081829j:plain

$AB^2=BH^2+AH^2$

$=(BM+MH)^2+AH^2$

$=BM^2+2BM\cdot{MH}+MH^2+AH^2$

$=BM^2+2BM\cdot{MH}+AM^2$

同じようにして

$AC^2=HC^2+AH^2$

$=(MC-MH)^2+AH^2$

$=MC^2-2MC\cdot{MH}+MH^2+AH^2$

$=BM^2-2BM\cdot{MH}+AM^2$

よって

$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

となります。

今度は角B,Cのどちらかが鈍角の場合です。

角Cが鈍角としましょう。

図のように直線BC上に点Hをとり、AHとBCが垂直になるようにすると

$AB^2=BH^2+AH^2$

$=(BM+MH)^2+AH^2$

$=BM^2+2BM\cdot{MH}+MH^2+AH^2$

$=BM^2+2BM\cdot{MH}+AM^2$

同じようにして

$AC^2=HC^2+AH^2$

$=(MH-MC)^2+AH^2$

$=MH^2-2MH\cdot{MC}+MC^2+AH^2$

$=AM^2-2MH\cdot{MC}+MC^2$

$=AM^2-2MH\cdot{BM}+BM^2$

よって

$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

となって中線定理が証明されました。

三平方の定理をうまく使うこととBM=CMを利用して式変形するのがポイントだったわけです。

なお、今の証明では角Cが鈍角としましたが角Bが鈍角の場合も左右逆にして考えれば同様ですね。

続いて別の証明を見てみましょう。今度は座標平面上における式計算によって中線定理を証明したいと思います。

三角形ABCが座標平面上にあり、点Mがちょうど原点Oの位置にあるとします。さらに辺BCがx軸上にあるとして、点Bの座標を(－s,0)、点Cの座標を(s,0)とします。そして、点Aの座標を(p,q)とおきます。このとき、

f:id:ecole2:20181226093750j:plain

$AB^2=(p+s)^2+q^2$

$=p^2+2ps+s^2+q^2$

$AC^2=(p-s)^2+q^2$

$=p^2-2ps+s^2+q^2$ なので

$AB^2+AC^2=2(p^2+s^2+q^2)$

となります。一方で、

$AM^2=p^2+q^2,BM^2=s^2$ なので

$2(AM^2+BM^2)=2(p^2+q^2+s^2)$

よって $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

となって証明されました。

もう一度ここまでを振り返ってみると

最初の証明では一辺の長さを分解したり足し合わせたりして三平方の定理を使いながら式変形を行っていました。

さらにBM=CMという条件も使っての式変形なので工夫が必要な証明だったと思います。

一方で二つ目の証明では座標を設定した後はただただ機械的に計算をしていくだけなのでわかりやすいと言えるでしょう。

ただ、そうは言っても座標の設定の仕方は工夫がいるじゃないかと言いたくなるかもしれません。

実際、BCの中点を原点にしてさらにBCをx軸上に重ねることで計算をしやすくなっているからです。

このBCの中点を原点にとるという方法は中線定理の証明だけではなく図形の様々な問題を解くときに役に立つ考え方でもあります。

今回の証明を通して座標平面上での問題の解き方への応用力も身に着けていただけたら幸いです。

さらなる数学力をつけたい方は次の動画がおすすめです。

www.youtube.com

また、高校数学では積和公式や和積公式の証明も面白いので三角関数をご存じの方はぜひこちら

積和公式と和積公式の証明 - 学びをつづる

もご参照ください。

2018-11-16

チェバの定理の証明します、2通りで！

数学

三角形ABCがあり、BC上に点Pを、CA上に点Qを、AB上に点Rを、それぞれとり、AP,BQ,CRが1点Sで交わるとします。

このとき、次の等式が成り立ち、これをチェバの定理といいます。

f:id:ecole2:20181112085251j:plain

${\displaystyle\frac{RA}{BR}}$ ・ ${\displaystyle\frac{QC}{AQ}}$ ・ ${\displaystyle\frac{PB}{CP}}=1$

ではこのチェバの定理を証明していきましょう。

f:id:ecole2:20181112085251j:plain

△ ABP: △ ACP = BP: CPなので

mを実数として △ ABP = mBP, △ ACP = mCP

と表せます。一方で

△ SBP: △ SCP ＝ BP: CPなので

nを実数として△ SBP = nBP, △ SCP = nCP

と表せます。よって

△ASB＝△ABP－△SBP＝mBP－nBP＝(m－n)BP

△ASC＝△ACP－△SCP＝mCP－nCP＝(m－n)CP

それゆえ、△ASB：△ASC =(m－n)BP：(m－n)CP =BP：CP

${\displaystyle\frac{PB}{CP}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{△ASB}{△ASC}}$

同様にして

${\displaystyle\frac{QC}{AQ}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{△BSC}{△BSA}}$ 、 ${\displaystyle\frac{RA}{BR}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{△CSA}{△CSB}}$

となるので

${\displaystyle\frac{RA}{BR}}$ ・ ${\displaystyle\frac{QC}{AQ}}$ ・ ${\displaystyle\frac{PB}{CP}}$

＝ ${\displaystyle\frac{△CSA}{△CSB}}$ ・ ${\displaystyle\frac{△CSB}{△ASB}}$ ・ ${\displaystyle\frac{△ASB}{△CSA}}=1$

以上によりチェバの定理が証明されました。

今の証明は三角形の面積比を使ったものでしたが、これとは別にメネラウスの定理を使って証明することもできます。

メネラウスの定理って何？という方はぜひともこちらのページをご覧ください。

ecole2.hatenablog.com

それでは、続いての証明を見てみましょう。まず、メネラウスの定理により次の等式が成り立ちます。

f:id:ecole2:20181112085251j:plain

${\displaystyle\frac{RA}{BR}}$ ・ ${\displaystyle\frac{SP}{AS}}$ ・ ${\displaystyle\frac{CB}{PC}}=1$ ‥‥(1)

同様にしてメネラウスの定理より

${\displaystyle\frac{QA}{CQ}}$ ・ ${\displaystyle\frac{SP}{AS}}$ ・ ${\displaystyle\frac{BC}{PB}}=1$ ‥‥(2)

(2) を変形すると

${\displaystyle\frac{SP}{AS}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{CQ}{QA}}$ ・ ${\displaystyle\frac{PB}{BC}}$ ‥‥(3)

(3)を(1)に代入するとチェバの定理の形になるので証明されました。

それではこの動画でさらなる数学力をつけましょう。

www.youtube.com

2018-11-15

メネラウスの定理を証明します。あと、定理の覚え方もわかっちゃいます！

数学

メネラウスの定理とはいったいどのような定理かと言いますと、次のように三角形ABCの辺BCをのばして点Fをとり、そこから三角形ABCへ直線を引いてACとの交点をE、ABとの交点をDとするとき、次の等式が成り立つという定理です。

f:id:ecole2:20181109081120j:plain

${\displaystyle\frac{DA}{BD}}$ ・ ${\displaystyle\frac{EC}{AE}}$ ・ ${\displaystyle\frac{FB}{CF}}=1$

では証明を見ていきましょう。

点Pを、ABとPCが平行になるようにEF上にとります。

f:id:ecole2:20181109081357j:plain

すると ∠ADE = ∠CPE 、∠DAE = ∠PCE　なので△ ADE は △ CPE と相似になります。

よって ${\displaystyle\frac{EC}{AE}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{CP}{DA}}$ ‥‥(1)

f:id:ecole2:20181109081357j:plain

一方で ∠FPC = ∠FDB 、∠FCP = ∠FBD なので△ FPC は △ FDBと相似になります。

よって ${\displaystyle\frac{BF}{CF}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{BD}{CP}}$ ‥‥(2)

(1) と (2)より

${\displaystyle\frac{DA}{BD}}$ ・ ${\displaystyle\frac{EC}{AE}}$ ・ ${\displaystyle\frac{FB}{CF}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{DA}{BD}}$ ・ ${\displaystyle\frac{CP}{DA}}$ ・ ${\displaystyle\frac{BD}{CP}}$ ＝1

以上によりメネラウスの定理が証明されました。

ところで、メネラウスの定理はどうやって覚えればよいのでしょうか。

それは、次のような矢印の順番で覚えることができます。

f:id:ecole2:20181109081540j:plain

まず最初の分母がBD、分子がDAですが、BからD、DからAへというイメージです。

また2番目の分母がAE、分子がECですが、AからE、EからCへというイメージです。

そして3番目の分母がCF、分子がFBですが、CからF、FからBへというイメージです。

このように矢印の順番につながっていく様子をイメージしていただければ覚えやすいかと思います。

また、次の図のようなタイプもあります。

f:id:ecole2:20181109081739j:plain

${\displaystyle\frac{PA}{BP}}$ ・ ${\displaystyle\frac{QC}{AQ}}$ ・ ${\displaystyle\frac{RB}{CR}}=1$

こちらの図形でもメネラウスの定理が成り立つわけですが、同じように矢印の順番に見ていくイメージです。

続いて以下のyoutube動画に進みましょう。

https://www.youtube.com/watch?v=MMi3KJyyP9g

メネラウスの定理は魅力的ですね

2018-11-15

正弦定理の証明がわかります！

数学

正弦定理は高校の数学で学習する基本的で重要な定理です

ただ正弦定理を使って解く問題というのは山ほどあって大学入試においても基本的な大学から難関大学まで幅広い大学で出題されています。

入試でも人気の定理なのですね。

そんな正弦定理について見ていきましょう。

三角形ABCがあり角A,B,Cの向かい合う辺の長さをそれぞれa,b,cとします。

f:id:ecole2:20181105045836j:plain

さらにRを三角形ABCの外接円の半径として、このとき成り立つ次の等式を正弦定理と呼びます。

${\displaystyle\frac{a}{sinA}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{b}{sinB}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{c}{sinC}}$ ＝2R

この定理はどのように証明するのでしょうか。以下、3つの場合に分けて、次の(1)が成り立つことを示します。

2R＝ ${\displaystyle\frac{a}{sinA}}$ ‥‥(1)

1. ∠BAC＜90°のとき

図のようにBSが直径となるようにSを円周上にとります。

f:id:ecole2:20181204103102j:plain

このとき、∠SCB＝90°

よって a ＝ BC ＝ BSsin∠BSC ＝ 2Rsin∠BSC

一方で円周角の定理より、∠BAC ＝ ∠BSC

そのため a ＝ 2Rsin∠BSC ＝ 2Rsin∠BAC となり(1)が成り立ちます。

2. ∠BAC＝90°のとき

f:id:ecole2:20181105050336j:plain

このとき、BCは円の直径となるので、2Rsin∠BAC ＝ 2R ＝ a.

よって(1)が成り立ちます。

3. ∠BAC＞90°のとき

図のようにBSが直径となるようにSを円周上にとります。

f:id:ecole2:20181204103206j:plain

このとき ∠SCB = 90°

円に内接する四角形の向かい合う角の和は180°なので ∠BSC ＝ 180 ° －∠BAC

よって sin∠BSC ＝ sin (180 ° －∠BAC) ＝ sin∠BAC

そのため 2Rsin∠BAC ＝ 2Rsin∠BSC ＝ BSsin∠BSC ＝ BC ＝ aで(1)が成り立ちます。

以上によりすべての場合において、すなわち角Aの大きさに関わらず常に(1)が成り立つことが示されました。

${\displaystyle\frac{b}{sinB}}$ ＝2R、 ${\displaystyle\frac{c}{sinC}}$ ＝2R

も同様にして示される、すなわち角Bや角Cの大きさに関わらず常に成り立つことが示されるので正弦定理が証明されました。

では続いての証明です。

まずは角Aが鋭角の場合です。

三角形ABCの外接円の中心OからBCへ垂線を下ろし、交点をMとします。

円周角の定理より∠BOC=2Aなので∠COM=Aです。

よってsinA=sin∠COM=MC/OC=a/2÷R=a/2R

a/SinA=2Rとなりました。

次に角Aが直角の場合です。

これは先ほどの証明と同じようにして

2RsinA=2Rsin90°=2R=BC=a

a/sinA=2Rとなります。

そして角Aが鈍角の場合です。

OからBCへ垂線を下ろして交点をMとします。

∠BOCの大きい方の角度（三角形BOCの外側の角度）は円周角の定理より2Aです。

よって∠BOCの小さい方の角度（三角形BOCの内側の角度）は360°－2Aです。

なので∠BOM=180°－Aでsin∠BOM=sin(180°－A)=sinAであり

sin∠BOM=BM/BO=a/2÷R=a/2Rなので

sinA=a/2Rでa/sinA=2Rとなります。

以上により角Aの大きさに関わらずa/sinA=2Rが成り立ちます。

角B,Cも同様なので正弦定理が示されました。

ここで、数学の実力をもっとつけたいという方は以下の動画を見てみましょう。

同じように三角関数を使う問題ですが、今度は計算に着目した、基本的でありながら重要な問題です。

タイトルが英語で表示されるかもしれませんが動画中には英語は出てこないのでご安心ください。

ここからは正弦定理をどのように使えばいいのかを見ていきましょう。

AB=6,CA=3√6,∠Bが60°のとき∠Cは何度でしょうか。

c=ABとb=CA、そして∠Bがわかっていて∠Cを求めたいのですね。

b/sinB=c/sinCを使いましょう。

b=3√6,sinB=√3/2,c=6なので

3√6/√3/2=6/sinC

6√2=6/sinC

√2=1/sinC

sinC=1/√2

0°から180°の間でsinC=1/√2を満たすのは45°と135°なのですが

ここでBの大きさに着目したいと思います。

いまBが60°なのでCは120°未満でなければなりません。

よってCは45°となるわけです。

では次の問題です。

AB=6,CA=3√6,∠Cが45°のとき∠Bは何度でしょうか。

いま解いたばかりの問題と比べてみると

ABとCAの値は全く同じでさらに∠Cが45°というのは答えで出てきた角度ですね。

なので∠Bも同じ60°のはずでこれが答えだと言いたくなりそうです。

しかしそうなのでしょうか。

実際に問題を解いてみましょう。

c=ABとb=CA、そして∠Cがわかっていて∠Bを求めたいわけですから

今回も正弦定理を使います。

b/sinB=c/sinCで

b=3√6,c=6,sinC=sin45°=1/√2なので

3√6/sinB=6√2

√6/sinB=2√2

√3/sinB=2

sinB=√3/2

となりました。

ただ今回は∠Cが45°なので∠Bは135°未満ですが

sinB=√3/2を満たすBとして

60°と120°の2つが条件を満たします。

よって答えは60°と120°になります。

60°だけじゃなかったのですね。