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等比数列とは？これでわかります！

数学

今回は等比数列についてです

例えば2に4をどんどんかけていくと

2,8,32,128,‥‥

というような数列が得られるわけですが

このように初項に一定の数 $r$ をかけていって

得られる数列を等比数列といいます

そしてこの $r$ を公比と呼びます

上の例は初項2、公比4の等比数列です

他の例を見てみましょう

初項 $3$ 、公比 $-5$ の等比数列は

$3,-15,75,-375,\cdots$ で

初項 $6$ 、公比 $\displaystyle\frac{1}{2}$ の等比数列は

$\displaystyle\ 6,3,\frac{3}{2},\frac{3}{4},\cdots$

という感じです

ここで最初の例に戻ると

$a_{1}=2$

$a_{2}=8=a_{1}・4=a_{1}・4^{1}$

$a_{3}=32=a_{2}・4=a_{1}・4^{2}$

$a_{4}=128=a_{3}・4=a_{1}・4^{3}$

で $a_{1}=a_{1}・4^{0}$ なので

$a_{n}=a_{1}・4^{n-1}$ となります

同じように初項 $a_{1}$ 、公比 $r$ の等比数列{ $a_{n}$ }の一般項は

$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$ となります

初項 $3$ 、公比 $-5$ の等比数列{ $a_{n}$ }の一般項は

$a_{n}=3(-5)^{n-1}$ で

初項 $6$ 、公比 $\displaystyle\frac{1}{2}$ の等比数列{ $a_{n}$ }の一般項は

$\displaystyle 6(\frac{1}{2})^{n-1}$ というわけです

ではここで第 $4$ 項が $48$ 、第 $6$ 項が $192$ である等比数列{ $a_{n}$ }の一般項を求めてみましょう

$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$ で

$48=a_{1}r^{3},192=a_{1}r^{5}$ より

$\displaystyle\ r^{2}=\frac{192}{48}=4$ なので $r=\pm2$

$r=2$ のとき $48=a_{1}・8$ で $a_{1}=6$

$r=-2$ のとき $48=a_{1}・(-8)$ で $a_{1}=-6$

よって一般項は $a_{n}=6・2^{n-1}$ または $a_{n}=-6(-2)^{n-1}$ となります

続いて等比数列の和を考えていきましょう

初項 $1$ 、公比 $3$ の等比数列の初項から第 $4$ 項までの和 $S$ を求めたいと思います

(1) $S=1+3+3^{2}+3^{3}$ で

(2) $3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}$ を考えると

(1)-(2)より

$-2S=1-3^{4}$ 、これより

$2S=3^{4}-1=81-1=80$

$S=40$ となります

同じように初項 $a_{1}$ 、公比 $r$ の等比数列{ $a_{n}$ }の

初項から第 $n$ 項までの和 $S$ は

$r\neq1$ のとき

$S=a_{1}+a_{1}r+a_{1}r^{2}+\cdots+a_{1}r^{n-1}$

$rS=a_{1}r+a_{1}r^{2}+\cdots+a_{1}r^{n-1}+a_{1}r^{n}$

を考えることで

$(1-r)S=a_{1}-a_{1}r^{n}$

$\displaystyle\ S=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}=\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}$

$r=1$ のとき

$a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$ より $S=na_{1}$ です

これより例えば初項 $7$ 、公比 $2$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ は

$\displaystyle\ S_{n}=\frac{7(1-2^{n})}{1-2}=7(2^{n}-1)$

初項 $6$ 、公比 $\displaystyle\frac{1}{2}$ の場合は

$\displaystyle\ S_{n}=\frac{6(1-(\frac{1}{2})^{n})}{1-\frac{1}{2}}=12(1-(\frac{1}{2})^{n})$

となります