2022-10-27

束の考え方（なぜkf+g=0を考えるのか）がこれでわかる！

数学

束の考え方についてご説明します。

f(x,y)=0,g(x,y)=0が異なる2点(a,b),(c,d)で交わるときkを実数としてkf(x,y)+g(x,y)=0という式を考えます。

この式が表すグラフがどういったものなのかさっぱりわからないですし、kの値によって様々に変化するのでまさに得体の知れない式といえます。

ただそんなkf+g=0という式にも一つだけ確かなことがあります。

それはkの値に関わらずkf(x,y)+g(x,y)=0が2点(a,b),(c,d)を通ることです。

なぜなら、まず(a,b)はf(x,y)=0上の点なのでf(a,b)=0であり、g(x,y)=0上の点でもあるのでg(a,b)=0となることから、kf(a,b)+g(a,b)=0になります。

つまり、(a,b)がkf(x,y)+g(x,y)=0上の点だと言えます。

(c,d)についても同じなので結局kf(x,y)+g(x,y)=0が2点(a,b),(c,d)を通ることがわかります。

そうです、kが6だろうと0だろうと-2だろうとルート2だろうとkf(x,y)+g(x,y)=0は2点(a,b),(c,d)を通るのです。

そしてkの値によってkf(x,y)+g(x,y)=0は円になったり直線になったり二次関数になったり三次関数になったりよくわからない曲線になったりするのです。

ですからkの値を適切なものにすればkf+g=0が求めたい2点(a,b),(c,d)を通る式になります。

例えばkの値をうまく取ることでkf+g=0がpx+qy+r=0という形になったとするとこれが2点(a,b),(c,d)を通る直線の式になります。

ここまでkf+g=0としてきましたがf+kg=0でも全く同じことが言えますね。

つまり、kをfにつけるかgにつけるかは計算しやすい方にすればよいのです。

そして、ここまで2点で交わる場合を考えてきましたが1点で交わる場合でも3点で交わる場合でももっと多くの点で交わる場合でも考え方は同じです。

例えばf=y-sinXでg=y-（xの3次関数）だとしてf=0とg=0が3点で交わっているケース（すなわちy=sinXのグラフとy=（xの3次関数）のグラフが3点で交わっている）においてこの交わっている3点を通る曲線の式を求めたいときもkf+g=0またはf+kg=0として考えればよいのです。

ですからkf+g=0やf+kg=0は、f=0とg=0が交わる点すべてを通る曲線となるのです。

それでは2つの円が交わる場合についてどのように問題を解いていくのかを見てみましょう。

問題

$a$ を実数として、2つの円

$(x-1)^2+(y-3)^2=1$

$(x-a)^2+(y-1)^2=7$

の共有点をP,Qとするとき2点P,Qを通る直線の方程式を求めよ。

解答解説

2つの円の式は

$(x-1)^2+(y-3)^2-1=0$

$(x-a)^2+(y-1)^2-7=0$ 　なので

$f(x,y)=(x-1)^2+(y-3)^2-1$

$g(x,y)=(x-a)^2+(y-1)^2-7$

として $kf+g=0$ を考えます

2つの円の共有点P,Qを通る円または直線の式は $k$ を実数として

$k((x-1)^2+(y-3)^2-1)$

$+(x-a)^2+(y-1)^2-7=0$

と表されるので直線の方程式を求めるために $k=-1$ とすると（ $x^2$ や $y^2$ を消すため）

$-((x-1)^2+(y-3)^2-1)$

$+(x-a)^2+(y-1)^2-7=0$

$-(x^2-2x+1+y^2-6y+9-1)$

$+x^2-2ax+a^2+y^2-2y+1-7=0$

$-(-2x-6y+9)-2ax+a^2-2y-6=0$

$(-2a+2)x+4y+a^2-15=0$

$4y=(2a-2)x+15-a^2$

$\displaystyle\ y=\frac{2a-2}{4}x+\frac{15-a^2}{4}$

$\displaystyle\ y=\frac{a-1}{2}x+\frac{15-a^2}{4}$

となってこれが求めたい直線の式です。束の考え方については以上となるのですが、せっかくなので線分PQの長さが最大になるときの $a$ の値を求めてみましょう。

PQは最大でも円 $(x-1)^2+(y-3)^2-1=0$ の直径にしかならず、求めた直線がこの円の中心 $(1,3)$ を通るときにPQは最大となります。よって求めた直線の式に $(1,3)$ を代入して

$\displaystyle\ 3=\frac{a-1}{2}+\frac{15-a^2}{4}$

$12=2(a-1)+15-a^2$

$12=2a-2+15-a^2$

$a^2-2a-1=0$

$a=1\pm\sqrt{1^2+1}$

$=1\pm\sqrt{2}$

$a$ は実数なので答えは $a=1+\sqrt{2}$ になります。

さて、ここまで座標平面において重要な束の考え方を見てきたわけですが、高校数学ではこの他に三角関数も非常に重要です。なぜなら三角関数は様々な分野の問題で出てきて座標平面でも頻繁に使うからです。そんなわけで、せっかくですから今回は三角関数についても学んでいきましょう。以下のyoutube動画をご覧ください。

https://youtu.be/Uq-odz6u0qc

さらに学びたいという方は以下のページでもっと数学力を向上させましょう。

ecole2.hatenablog.com

2022-10-26

MARCHクラスを目指すなら必見！数学の三角関数の方程式

数学

今回は三角関数の方程式について学んでいきたいと思います。

何はともあれ実際に問題を見てみましょう。

第一問目としてまずは次のyoutube動画をご覧ください。

※動画が表示されにくい場合は数秒お待ちください

どうでしたでしょうか。三角関数の方程式を実際にどのように解いていくのかおわかりいただけたでしょうか。

十分に理解できたよという方やまだいまいちピンとこないよという方がそれぞれいらっしゃるかもしれません。

いまいちピンとこないという方は動画をもう一度ご覧いただければ理解しやすくなると思います。

ぜひとも繰り返し学習していきましょう。

さて、今の動画の内容がよくわかったという方は似たような問題を解きたくなってきませんでしたか。

そんな方にぴったりな二問目として次の問題はどうでしょうか。

[問題]

$6sin^{2}\theta+5\sqrt{3}sin\theta-12=0,$

$0\leq \theta\leq\pi, \theta=?$

これは先ほどの問題よりも少し複雑ですね。それでは解答を見ていきましょう。

[解答] $6sin^{2}\theta+5\sqrt{3}sin\theta-12$

$=(2sin\theta-\sqrt{3})(3sin\theta+4\sqrt{3})$ となるが

$\sqrt{3}\gneq1.7$ なので $4\sqrt{3}\gneq6.8$ であり

また $3sin\theta\geq-3$ であることから

$3sin\theta+4\sqrt{3}\gneq0$ となるため

$2sin\theta-\sqrt{3}=0$ となる

よって $\displaystyle sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので

答えは $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}$

どうでしたでしょうか。

ルートが式の中に入っていることもあり一問目に比べて難しく感じたかもしれません。

しかし考え方自体は一問目と同じなので落ち着いて見ていただければと思います。

続いても少し複雑ですがここまでと似たような問題をもう一題見てみましょう。

[問題]

$12cos^{2}\theta+26\sqrt{2}cos\theta+20=0$

$0\leq \theta\leq\pi, \theta=?$

[解答] $12cos^{2}\theta+26\sqrt{2}cos\theta+20$

$=2(6cos^{2}\theta+13\sqrt{2}\theta+10)$

$=2(2cos\theta+\sqrt{2})(3cos\theta+5\sqrt{2})$ となるが

$\sqrt{2}\gneq1.4$ なので $5\sqrt{2}\gneq7$ であり

$3cos\theta\geq-3$ なので $3cos\theta+5\sqrt{2}\gneq0$

よって $2cos\theta+\sqrt{2}=0$ となり

$\displaystyle cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので

答えは $\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{4}$

今度は今までとは違ってcosを使った方程式でしたね。

ただ解き方は今までと同じなのでここまで読んでこられた方は解答を理解できたのではないでしょうか。

さて、今回のページで学んできた三角関数を使った方程式というのは数学の学習をしているときにはよく出てくるのですが大学入試においても頻出と言えます。

それはこの方程式を解きましょうというシンプルな問題だけではなく複雑な問題を解いていく上での途中式として出てくることもよくあるのです。

そうした複雑な問題を解くときに三角関数の扱いに慣れていないとそこでストップしてしまい本来解きたかった問題の全体像が見えてこないといったことにもなりかねません。

そのため大学入試でMARCHや関関同立といったクラスの大学、あるいはそれ以上の大学を目指したいという方はぜひともこのページで学んだ三角関数の方程式について理解を深めていただければ幸いです。

そんな三角関数の方程式には今回学習した以外にも様々な形があり様々な解き方があるのですね。

なので、さらに学習を進めてもっと三角関数を得意にしていきましょう。

2022-10-21

共通テスト数学受験への第一歩！平方根と式の計算

数学

共通テストの数学って基本から標準レベルの計算も大事じゃないですか。

そういう計算力をつけるのにぴったりな問題を用意しました。

どんな問題か気になってきませんか。

そんな知りたがりの皆さんにまず最初の問題をご紹介します。

次の動画をご覧ください。

※動画が表示されない場合は数秒お待ちください

上の動画では因数分解の公式が使えそうなところに注目して計算を行っていましたね。

では次の類題を解いてみましょう。

[問題] $(\sqrt{3}-\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{10}+\sqrt{7})$ を計算せよ

[解答] $(\sqrt{3}-\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{10}+\sqrt{7})$

$=(\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{10})(\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{10})$

$=(\sqrt{3}+\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{10})^{2}$

$=3+7+2\sqrt{21}-10$

$=2\sqrt{21}$

この問題では $\sqrt{10}$ の前の符号だけがマイナスとプラスになっていることに着目して $\sqrt{3}$ と $\sqrt{7}$ をひとかたまりにし、2乗－2乗という因数分解の公式を使って計算しているのですね

それでは次のような問題でも計算できるか確認してみましょう

[問題] $(-\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{7})$ を計算せよ

[解答] $(-\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{7})$

$=(\sqrt{7}-(\sqrt{6}+\sqrt{3}))(\sqrt{7}+(\sqrt{6}+\sqrt{3}))$

$=(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{6}+\sqrt{3})^{2})$

$=7-(6+3+2\sqrt{18})$

$=-2-6\sqrt{2}$

この問題では $\sqrt{6}$ と $\sqrt{3}$ の前の符号はプラスとマイナスになっている一方で $\sqrt{7}$ の前の符号はどちらもプラスですね。そのため $\sqrt{6}$ と $\sqrt{3}$ をひとかたまりにして考えます。そしてそれぞれのかっこの中の順番を入れ替えて $\sqrt{7}$ を前に出し2乗－2乗の公式が使えるようにしているというわけなのです。

どうでしたか。少しずつ式の計算の力がついてきましたか。

これだけではなくいろいろな問題を解いて式の計算を得意にしていきましょう。

2022-04-22

早慶や旧帝を受けるなら落とせない！数学の相加相乗平均の不等式

数学

数と式の計算や相加相乗平均の不等式というのは高校数学の最初の方で学びます。

しかしこれらは学べば学ぶほど奥深いものなのです。

今回の問題はそんな、相加相乗平均の不等式を使って解く問題ですが早稲田や慶応、旧帝大クラスであれば解き切りたいところです。

問題

$\displaystyle\frac{4x^{4}+21x^{2}+1}{x(2x^{2}+1)}=Px+\frac{Q}{x}+\frac{Rx}{2x^{2}+1}$

が $x$ についての恒等式となるとき $P,Q,R$ の値を求めよ。また、 $x$ が正のとき

$\displaystyle\frac{4x^{4}+21x^{2}+1}{x(2x^{2}+1)}$ の最小値を求めよ。

解答

$\displaystyle\frac{4x^{4}+21x^{2}+1}{x(2x^{2}+1)}=Px+\frac{Q}{x}+\frac{Rx}{2x^{2}+1}$

の両辺に $x(2x^{2}+1)$ をかけて

$4x^{4}+21x^{2}+1$

$=Px^{2}(2x^{2}+1)+Q(2x^{2}+1)+Rx$

$=2Px^{4}+(P+2Q+R)x^{2}+Q$ 　なので

$4=2P,　21=P+2Q+R,　1=Q$

$P=2,　Q=1,　R=17$

となる。これより $x$ が正のとき、

$\displaystyle\frac{4x^{4}+21x^{2}+1}{x(2x^{2}+1)}=2x+\frac{1}{x}+\frac{17x}{2x^{2}+1}$

$\displaystyle\ =\frac{2x^{2}+1}{x}+\frac{17x}{2x^{2}+1}$

$\displaystyle\geq2\sqrt{\frac{2x^{2}+1}{x}\frac{17x}{2x^{2}+1}}$ （相加相乗平均の不等式）

$=2\sqrt{17}$

等号成立は $\displaystyle\frac{2x^{2}+1}{x}=\frac{17x}{2x^{2}+1}$ のときで

$\displaystyle\frac{(2x^{2}+1)^{2}}{x^{2}}=17$

$\displaystyle\frac{2x^{2}+1}{x}=\sqrt{17}$

$2x^{2}+1=\sqrt{17}x$

$2x^{2}-\sqrt{17}x+1=0$

$\displaystyle\ x=\frac{\sqrt{17}\pm\sqrt{17-8}}{4}=\frac{\sqrt{17}\pm3}{4}$

よって $\displaystyle\ x=\frac{\sqrt{17}-3}{4},\frac{\sqrt{17}+3}{4}$ のとき

最小値 $2\sqrt{17}$ をとる

以上が解答になるわけですが今一度振り返ってみると問題の前半部分はよくある恒等式の問題でしたね。

まず両辺の分母を払いそれぞれの係数を比べて連立方程式を立ててP,Q,Rの値を求めたのですね。

そして後半の最小値を求める場面で相加相乗平均の不等式を使ったわけですがここでひと工夫が必要だったわけです。

PとQの出てくる項をひとまとめにして考える、これは少し難しかったかもしれません。

こうすることでルートの中にある分子と分母がうまく約分されて計算しやすくなっているのですがまるで魔法のように感じた方もいるかもしれません。

PとQの項をまとめたら分母と分子に何が出てくるか、それを見極めることができたかどうかがこの問題を正解できたかどうかの分かれ目と言えそうです。

早稲田や慶応、旧帝大といったレベルになれば入試の典型問題だけではなくそれらを応用した問題もしっかりと学習しておく必要があるのですね。

こう書くとそれらの大学の問題はとてつもなく難しいもののように感じるかもしれませんが応用問題とはいっても難易度は標準レベルから少し難しめのことがほとんどですので一つ一つの事柄について落ち着いて学習していくことが大切だと言えるでしょう。

今回は相加相乗平均の不等式を使った式の計算について学んできたわけですがどうだったでしょうか。

今回の問題でもし理解があやふやな所があればぜひとももう一度見直して理解を確かなものにしていきましょう。

2022-04-04

関関同立クラスを目指す人向けの点対称な三次関数の数学の問題

数学

今回は点対称な三次関数についてです。難易度としましては関関同立クラスであればぜひとも解き切りたい問題です。

$p,q,a,b$ を実数、 $a\neq0$ として

$f(x)=x^{3}+px^{2}+qx$ が $(a,b)$ に関して点対称となるとき $p,q$ を $a,b$ を用いて表したいと思います

任意の実数 $t$ に対して2つの点

$(a+t,f(a+t))$ と $(a-t,f(a-t))$

の中点が $(a,b)$ となるので

$\displaystyle\frac{f(a+t)+f(a-t)}{2}=b$

$f(a+t)+f(a-t)=2b$

$(a+t)^{3}+p(a+t)^{2}+q(a+t)$

$+(a-t)^{3}+p(a-t)^{2}+q(a-t)=2b$

$a^{3}+3a^{2}t+3at^{2}+t^{3}+pa^{2}+2pat+pt^{2}$

$+qa+qt+a^{3}-3a^{2}t+3at^{2}-t^{3}+pa^{2}$

$-2pat+pt^{2}+qa-qt=2b$

$2(a^{3}+3at^{2}+pa^{2}+pt^{2}+qa)=2b$

$a^{3}+3at^{2}+pa^{2}+pt^{2}+qa=b$

$(3a+p)t^{2}+a^{3}+pa^{2}+qa=b$

この式が任意の $t$ に対して成り立つので

$3a+p=0, a^{3}+pa^{2}+qa=b$

$p=-3a$ でこれを後ろの式に代入して

$a^{3}-3a^{3}+qa=b$

$qa=2a^{3}+b$

$\displaystyle\ q=\frac{2a^{3}+b}{a}$

となって求まりました。

また、次のような解き方もあります。

まず、 $b=f(a)$ なので $b=a^{3}+pa^{2}+qa$

そして、 $f'(x)=3x^{2}+2px+q$

$f''(x)=6x+2p$ であるが今、 $f''(a)=0$ なので

$f''(a)=6a+2p=0$ よって $p=-3a$

$b=a^{3}-3a^{3}+qa$

$qa=2a^{3}+b$

$\displaystyle\ q=\frac{2a^{3}+b}{a}$ となるが、このとき任意の実数 $t$ に対して

$f(a+t)+f(a-t)$ が一定かどうかを確かめる。

$f(a+t)+f(a-t)$

$=2((3a+p)t^{2}+a^{3}+pa^{2}+qa)$

（先ほどの解答の計算結果を使いました）

$=2(a^{3}-3a^{3}+qa)=2b$ で一定となることから点対称になっていると言える。よって

$\displaystyle\ p=-3a,q=\frac{2a^{3}+b}{a}$

2022-03-13

共通テスト8割を目指すなら落とせない！三角関数の問題

数学

※動画が表示されにくい場合は数秒お待ちください

三角関数の問題です。

共通テストの数学で8割以上取りたい場合はすぐ下の動画の問題、そしてさらに下の続きの問題も正解したいところです。

上の動画の続きとして

$sin^{3}\theta+cos^{3}\theta$ の値を求めたいと思います。

$(sin\theta+cos\theta)^{3}$

$=sin^{3}\theta+3sin^{2}\theta\cos\theta$

$+3sin\theta\cos^{2}\theta+cos^{3}\theta$

$=sin^{3}\theta+cos^{3}\theta$

$+3sin\theta\cos\theta(sin\theta+cos\theta)$

よって、 $sin^{3}\theta+cos^{3}\theta$

$=(sin\theta+cos\theta)^{3}$

$-3sin\theta\cos\theta(sin\theta+cos\theta)$

$\displaystyle\ =(\frac{1}{4})^{3}-3(-\frac{15}{32})\frac{1}{4}$

$\displaystyle\ =(\frac{1}{4})^{3}+\frac{45}{2}(\frac{1}{4})^{3}$

$\displaystyle\ =(\frac{1}{4})^{3}(1+\frac{45}{2})$

$\displaystyle\ =(\frac{1}{4})^{3}\frac{47}{2}$

$\displaystyle\ =\frac{1}{64}\frac{47}{2}=\frac{47}{128}$

となって答えが求まりました。

三角関数の問題では今回のように $sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1$ という関係を使うとうまくいく場合が結構あります。これは三角関数ならではの面白さと言えるのではないでしょうか。

また、 $sin^{3}\theta+cos^{3}\theta$ を求めたいときには $(sin\theta+cos\theta)^{3}$ を考えると解きやすくなるというのも割とよくあることだと思います。

今回の問題を解く際に使った考え方は三角関数とその他の分野の混ざり合った発展問題などもっと難しい問題を解くときの途中計算としても応用可能な方法なのですごく便利だと言えるでしょう。

2022-03-12

MARCHを受けるなら解いておきたい！平方根を使った数列の問題

数学

今回は数列の問題をご紹介したいと思います。

数列というと等差数列や等比数列の基本的なパターン問題についてはどの参考書や問題集にも載っていることもあっておなじみかもしれません。

ただそうした基本のパターンにちょっとひと工夫加えた問題を見るとどうしていいかわからなくなってしまう方も多いのではないでしょうか。

今回ご紹介するのは平方根を使った数列の問題であり、もしかするとあまり見慣れないタイプかもしれません。

そうはいってもMARCHクラスの大学であればぜひ解いておきたい問題なのでこのタイプの問題を初めて見るという方やこういう問題は見たことあるけどどうやって解いていいのか忘れてしまったという方はこれを機に解き方を身に着けていきましょう。

それでは実際にどんな風に解いていくのかですがそれについてまずはこのyoutubeの動画を見ていただきたいと思います。

それではどうぞ。※動画が表示されにくい場合は数秒お待ちください

どうだったでしょうか。平方根を使った数列の問題を解き方がわかりましたか。さらに理解を深めるために今度は $a_{1}=343$ 、 $a_{n+1}=7\sqrt{a_{n}}$

の場合の $a_{n}$ を求めてみましょう。

343が7の3乗であることがヒントです。

$log_{7}a_{n+1}=log_{7}(7\sqrt{a_{n}})$

$=log_{7}7+log_{7}\sqrt{a_{n}}$

$\displaystyle\ =1+log_{7}a_{n}^{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle\ =1+\frac{1}{2}log_{7}a_{n}$ となるので

$b_{n}=log_{7}a_{n}$ とおくと

$\displaystyle\ b_{n+1}=\frac{1}{2}b_{n}+1$

となって上の動画と同じ式になります。

よって $\displaystyle\ b_{n}-2=(\frac{1}{2})^{n-1}(b_{1}-2)$

となるわけですが、今回は

$b_{1}=log_{7}343=3$ なので

$\displaystyle\ b_{n}-2=(\frac{1}{2})^{n-1}(3-2)$

$\displaystyle\ b_{n}=2+(\frac{1}{2})^{n-1}$

$\displaystyle\ a_{n}=7^{b_{n}}=7^{2+(\frac{1}{2})^{n-1}}$

となります。

このように平方根の入った数列の式というのはなかなか見慣れない形かもしれません。

どのように解いていいのかわからなくなりそうですが、そんなときには両辺の対数をとってうまくいきそうかどうか見てみる方法もあるのですね。

もちろん、ルートの入った式だからといって対数をとれば必ずうまくいくというわけではないのですが、このような解き方もあるということを知っていれば非常に役に立つこともあると思います。

今回は数列の問題において両辺の対数をとるという解き方だったわけですが、この両辺の対数をとるという方法は数列以外の問題でも使う場面は結構多かったりします。

例えば、高校で学習する範囲でいえば理系の方限定となってしまうかもしれませんが指数関数が出てきたときに対数を取った後に微分することで計算しやすい形にするといった感じです。

このようにいろいろな場面で役に立つのですね。

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